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Connaître le chiffre Pi

Publié par Risque Sanitaire France sur 17 Janvier 2018, 20:29pm

Catégories : #culture de la vitalité

Photo du chiffre Pi (source: http://she.hr/wp-content/uploads/2016/05/broj-pi.jpg)

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Source : wikipedia

Lien : https://fr.wikipedia.org/wiki/Pi

 

Pi est un nombre représenté par la lettre grecque minuscule du même nom : π. C’est le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre, c'est-à-dire que Pi correspond à la circonférence d’un cercle de diamètre 1. En effet, tous les cercles sont semblables et pour passer d’un cercle à un autre il suffit de connaître le rapport de la similitude (Pi).

π apparaît dans de nombreuses formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères.

Pi peut donc correspondre à l’unité de base de tous les cycles, car un cycle a une distance ou une durée de Pi.

Sa valeur approchée par défaut est 3,141 592 653 589 793.

Il semble que, très tôt, les mathématiciens aient été convaincus qu'il existait un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre, ainsi qu'entre l'aire du disque et le carré du rayon. Des tablettes babyloniennes datant de 2 000 ans av. J.-C. et découvertes en 193629 présentent des calculs d'aire conduisant à une valeur de π de 3 + 1/8.

Ce recouvrement imparfait de l'aire du disque par un octogone peut conduire à une approximation de l'aire du disque, et donc du nombre π.

Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, copié au XVIe siècle avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes plus ancien encore. On y trouve utilisée plusieurs fois une méthode pour évaluer l'aire d'un disque en prenant le carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué d'un neuvième. Cette méthode conduit à une évaluation de π de 256⁄81.

Vers 700 av. J.-C., le texte indien Shatapatha Brahmana donne une approximation de π : 25/8 (= 3,125) et le Baudhāyana Sulbasūtra en donne deux autres : 900/289 (≈ 3,11) et 1156/361 (≈ 3,20). Des calculs d'astronomie ont ensuite conduit à une autre approximation védique : 339/108 (≈ 3,139). Au début du VIe siècle apr. J.-C., Aryabhata donne une approximation plus précise : 62832 20000 {\displaystyle {\tfrac {62832}{20000}}} {\tfrac {62832}{20000}} = 3,1416. Comme |π – 3,1416| < 0,0000075, il s'agit d'un résultat remarquable, exact à 10−5 près.

C'est dans le traité d'Archimède (287 à 212 av. J.-C.) intitulé De la mesure du cercle que l'on peut lire une démonstration liant l'aire du disque et l'aire du triangle ayant une base de longueur le périmètre du cercle et pour hauteur le rayon, démontrant ainsi qu'une même constante apparaît dans le rapport entre aire du disque et carré du rayon et entre périmètre et diamètre.

Au IIIe siècle, en Chine, Liu Hui, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe des calculs proches de ceux d'Archimède mais plus performants et fournit une approximation de π de 3,1416. Le mathématicien chinois Zu Chongzhi donne une approximation rationnelle encore plus précise de π : π ≈ 355/113 (dont les développements décimaux sont identiques jusqu'à la 6e décimale, π ≈ 3,141 592 6 et 355/113 ≈ 3,141 592 9) et montre que 3,141 592 6 < π < 3,141 592 7, en utilisant l'algorithme de Liu Hui appliqué à un polygone à 12 288 côtés. Cette valeur demeure la meilleure approximation de π au cours des 900 années qui suivent.

Jusqu’en 1400 environ, la précision des approximations de π n’excédait pas les 10 décimales. Les progrès en matière de calcul intégral et de séries vont permettre d’améliorer cette précision. Les séries permettent d’approcher π avec d’autant plus de précision qu’on utilise de termes de la série pour le calcul. Vers 1400, le mathématicien indien Madhava de Sangamagrama trouve ce qui constitue, en langage moderne, le développement de la fonction arc tangente (redécouvert par James Gregory et Gottfried Wilhelm Leibniz au XVIIe siècle).

La première contribution importante venant d’Europe depuis Archimède a été faite par François Viète, qui en donne douze décimales, avec un encadrement du reste dans son Canon mathématique en 1579. Il est suivi par Adrien Romain, qui donne 15 décimales en 1591, et l’Allemand Ludolph van Ceulen (1540-1610), qui a utilisé la même méthode géométrique afin de donner une estimation de π correcte à 35 décimales près. Il a été si fier de son calcul, qui lui a demandé une grande partie de sa vie, qu’il a fait graver les décimales sur sa pierre tombale.

 

Nombreux sont les sites ou ouvrages qui signalent la présence du nombre π dans les pyramides et, plus précisément, que π est le rapport entre le périmètre de la base et le double de la hauteur des pyramides. Il est vrai que la pyramide de Khéops possède une pente de 14/11 et que par conséquent, le rapport entre la base et la hauteur est de 22/14. Le rapport 22/7 étant une bonne approximation de π, le rapport entre le périmètre et le double de la hauteur de la pyramide de Khéops est bien voisin de π.

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